Немка Екатерина II, приглашая математика Леонарда Эйлера в Санкт-Петербургскую Академию наук, и подумать не могла, что через 250 лет разработки Эйлера россияне будут покупать у немцев. А может так было задумано Госдепом, разрабатывать у нас, за наши деньги и нам же продавать?

Как бы то ни было, метод Эйлера, простейший численный метод решения дифференциальных уравнений, как таковой до сих пор не нашел своего применения в Минюсте, их ученым советом не апробирован и не утвержден. Хотя те, кто так говорит, сами ничего не знают.

Метод Эйлера, как и ему подобные методы, применяются в экспертизе ДТП. Поэтому эта статья полезна для автоэкспертов и адвокатов тем, что в ней просто и ясно показано, как работает модель движения автомобиля в специальных компьютерных программах реконструкции ДТП, типа PC-Crash. А это позволяет, при необходимости, сформулировать ряд вопросов для экспертного исследования или задать несколько неприятных вопросов эксперту.

Решаем простейшее дифференциальное уравнение


Адвокаты (про госавтоэкспертов точно не скажу), возможно, помнят из школьной программы, что такое производная функции. Производная – это тангенс угла наклона касательной к графику функции в некоторой точке. Это ее геометрический смысл.

Если наша функция есть зависимость пути от времени, то производная – это зависимость скорости от времени. Вторая производная от пути по времени – это зависимость ускорения от времени.

Большей информации для задачи движения автомобиля нам не надо.














Для иллюстрации метода Эйлера рассмотрим некоторую функцию y(x)=x2. Ее график показан выше слева, это – парабола. Справа на рисунке – график производной этой функции y’(x)=2x.

Видно, что, например, при x=0 производная y’=0, или касательная параллельна оси абсцисс. А при x=2 производная y’=4, или в этой точке тангенс угла наклона функции y(x) равен 4, откуда угол наклона касательной составляет около 76 градусов. Если сама функция y(x) нам не известна, а известна только ее производная, то получить эту функцию можно интегрированием производной.

Если мы проинтегрируем производную аналитически, то получим формулу искомой функции y(x), а если численно – только ее график в виде набора точек. Давайте проинтегрируем численно методом Эйлера.

Полагаем, а это – граничные условия, что искомая функция начинается с точки x=0 и y=0. Наша задача – получить правую ветвь этой параболы.

Принимаем шаг интегрирования dx=0.5. Тогда в этой точке, при x=0, значение производной тоже равно нулю 2x=2x0=0, и мы попадаем в следующую точку x=0+0.5=0.5 и y=0+2x0x0.5=0. В этой второй точке x=0.5 значение производной уже равно 2х0.5=1, поэтому далее мы попадаем в третью точку с координатами x=0.5+0.5=1 и y=0+1x1x0.5=0.5. И так далее.

Табличка со значениями аргумента x и функции y, а так же график реальной функции y=x2 (красный цвет) и ломанной (синий цвет), полученной методом Эйлера показан на рисунке ниже.
Как видно из сравнения двух графиков, погрешность велика. Но и шаг интегрирования dx=0.5  был выбран  большой. Если уменьшить шаг интегрирования, уменьшится и погрешность.

Это называется сходимостью метода – при уменьшении шага возрастает точность. Сравнивая два решения с разным шагом, можно сделать вывод о погрешности полученного решения. А сейчас, с современными компьютерами, проблем с выбором весьма малого шага интегрирования нет, так как человеку все равно, длился расчет 0.1 секунды или 0.01 секунды, лишь бы не часами.

Для примера на следующем рисунке показан результат интегрирования с шагом dx=0.01, и видно, что красная и синяя линии практически слились. Там же показана программа расчета: задаем начальную точку и шаг интегрирования, а далее в цикле для параметра i, пробегающего значения от 1 до 300 идет расчет точек ломаной по методу Эйлера.


Интегрируем дифференциальные уравнения движения автомобиля


Рассмотрим решение задачи движения полностью заторможенного автомобиля Ауди массой m=1185 кг, моментом инерции I=1566.4 кг ·м2, по горизонтальной поверхности с коэффициентом сцепления колес с поверхностью дороги f=0.7 (сухой асфальт). Скорость автомобиля в начальный момент v0=30 км/ч в направлении вправо на рисунке, скорость вращения w0=3c-1 (радиан в секунду). Такое движение может быть как в результате удара и тогда это движение после разделения автомобилей, либо занос в колее и т.п.

На рисунке ниже показано решение этой задачи в программе PC-Crash (рекомендованной Минюстом).

Табличка справа содержит параметры автомобиля, а слева – указанные начальные скорости. Точки на рисунке – координатная сетка с шагом 1м. В начальный момент времени центр тяжести автомобиля находится в точке с координатами x=0, y=0. Угол между продольной осью автомобиля и осью координат x (направлена вправо на рисунке) a=0.

Начальное значение времени положим t=0, шаг интегрирования по времени dt=0.001 сек. Мы не знаем значения ускорений центра тяжести автомобиля вдоль координатных осей и угловое ускорение в начальный момент времени, поэтому их значения полаем также равными нулю: acx=0, acy=0 и e=0.

Далее будем считать, что левой переднее колесо автомобиля – это колесо 1, правое переднее – 2, правое заднее – 3 и левое заднее – 4. С помощью таблички с параметрами автомобиля определим начальные координаты его колес: x1=1.25 м, y1=0.755 м, x2=1.25 м, y2=-0.755 м, x3=-1.26 м, y3=-0.755 м, x4=1.26 м, y4=0.755 м. Для расчетов нам понадобятся длины и углы с осью x радиус-векторов всех колес.

Для передних колес это R1=1.46 м, для задних – R2=1.469 м, и углы а1=0.543 рад (31.13 град), а2=-0.543 рад (-31.13 град), а3=3.68 рад (210.9 град), а4=2.6 рад (149 град). Все исходные данные приведены в листинге ниже.

Движение автомобиля в плоскости определяется вторым законом Ньютона в форме дифференциальных уравнений второго порядка (то есть содержащих вторые производные, или производные от производных), из которых два первых – для центра тяжести автомобиля (x и y – координаты центра тяжести), а третье – для вращения автомобиля вокруг его центра тяжести (а – угол между продольной осью автомобиля и координатной осью x). В запись этого закона Ньютона также входят сумма проекций сил сцепления всех колес на оси координат x и y, суммарный момент сил сцепления всех колес относительно центра тяжести, масса автомобиля и его момент инерции относительно вертикальной оси, проходящей через центр тяжести.
Ну а далее тот самый цикл, на каждом шаге которого время прирастает на 0.001 секунды в интервале от 0 до 1.35 секунды, а координаты центра тяжести автомобиля и его курсовой угол постоянно пересчитываются исходя из приведенных выше дифференциальных уравнений движения в плоскости.

Внутри цикла, на i-м шаге, значения ускорений и скоростей автомобиля и координаты его колес принимаются из прошлого i-1 –го шага, и делается первый (черновой) расчет положения центра тяжести и курсового угла на текущем шаге (две последние строки на рисунке выше – формулы известны из школьного курса физики и являются результатом аналитического интегрирования дважды дифференциальных уравнений движения). Это необходимо для определения направления движения колес автомобиля, чтобы знать, в каком направлении приложить этим колесам векторы сил сцепления автомобиля с дорогой. Получается, что в таком алгоритме направление сил сцепления берется с запаздыванием по времени на величину шага интегрирования. Но это не страшно, так как шаг по времени очень мал.

Далее, как показано на листинге выше, исходя из текущего положения центра тяжести автомобиля и его курсового угла, путем сравнения глобальной системы координат и системы координат автомобиля (документ, как это делать, приложен к статье), определяются текущие координаты каждого колеса автомобиля. Сразу же вычисляются единичные векторы (орты, как это называется в аналитической геометрии) направления движения каждого колеса автомобиля, чтобы затем приложить силы сцепления в противоположном им направлениям.

Остается, как видно из листинга выше, вычислить величину силы сцепления с дорогой на каждом колесе исходя из ¼ массы автомобиля и коэффициента сцепления шин с дорогой.

При реальном расчете эксперт может принять и иные соотношения. Так же вычисляются проекции сил сцепления на каждом колесе на оси глобальной системы координат как произведение величины указанной силы на компоненты ортов направления движения колеса со знаком «минус».

После этого (в пятой строке) проекции всех сил на оси координат суммируются. Далее вычисляется момент этих сил относительно центра тяжести как векторное произведение сил сцепления на радиус-вектор каждого колеса.
Теперь остается вычислить из второго закона Ньютона реальное ускорение (если получится отрицательным, то это – замедление) центра тяжести автомобиля и его угловое ускорение на текущем шаге, из них реальные скорости центра тяжести в проекции на оси координат и скорость вращения автомобиля, и реальные координаты центра тяжести и курсового угла автомобиля на текущем шаге. Реальные потому, что выше, для определения направления сил сцепления на каждом колесе эти значения принимались их предыдущего шага интегрирования. Листинг показан выше.

Последнее, что осталось, это вычислить реальные положения колес на текущем шаге интегрирования, как показано на листинге выше.

Интегрирование закончено.

Проверяем результаты


Результат интегрирования в данном случае это таблица, содержащая 1351 строку, в столбцах которой содержатся все те величины, которые мы рассчитали, то есть имеющие в листингах нижний индекс i. Таблица сама по себе суду ничего не дает, хотя некоторые адвокаты, услышав про нее, требуют представить, что я с удовольствием делаю – представляю на электронном носителе. Но лучше визуализировать результат в виде расчетного положения автомобиля в разные моменты времени и траектории его колес. В программе выше мы не вычисляли положения углов автомобиля, поэтому представим в виде графика расчетные траектории всех 4-х колес автомобиля с координатной сеткой 1м.

На рисунке ниже траектория левого переднего колеса красная, правого переднего синяя, правого заднего фиолетовая, левого заднего черная.

И, наконец, самый главный вопрос – а что мы тут насчитали? Для ответа на него ниже масштабно совмещены рисунок из программы PC-Crash и результат нашего домашнего расчета. Сравнение показывает, что с помощью программы выше получен тот же самый результат, так как траектории колес полностью совпали.

Обсуждение результатов


Итак, приведенный пример расчета движения заторможенного автомобиля в заносе показал, что не боги горшки обжигают, и развеял мрак тайны специальных компьютерных программ. Это немаловажно как для экспертов, так и для адвокатов, так как, надеюсь, с учетом цикла статей по алгоритму CRASH3 и уравнениям движения им стало понятно, как это все работает. Понятно тем, кто это читает. А остальным?

Для чего может понадобиться такой «ручной» расчет? Он нужен, когда положения колес автомобиля после удара существенно отличаются от их положений до удара, когда одно колесо оторвано, когда колеса после удара смотрят в разные стороны, когда одно колесо или больше спущено, когда некоторые из колес заклинены деформированными частями автомобиля, а другие свободно или со скрежетом вращаются. И это только небольшое число случаев из тех, которые могут возникнуть в реальном ДТП, и не могут быть учтены той или иной компьютерной программой.

Выше рассмотрено движение полностью заторможенного автомобиля, поэтому модель шин была простейшей – силы сцепления колес были направлены против направления движения каждого колеса. А если в реальности по другому? Какая и почему использована модель в конкретном расчете?

Резюмируя, можно сказать снова и снова – лишними знания не бывают, и теорию знать полезно.

Документы

1.Системы координат381 KB

Все документы в данном разделе доступны только профессиональным участникам портала, имеющим PRO-аккаунт.

Для доступа к документам необходимо авторизоваться

Да 28 28

Ваши голоса очень важны и позволяют выявлять действительно полезные материалы, интересные широкому кругу профессионалов. При этом бесполезные или откровенно рекламные тексты будут скрываться от посетителей и поисковых систем (Яндекс, Google и т.п.).

Участники дискуссии: Насибулин Сергей, Добрынкина Екатерина, Немцев Дмитрий, Семячков Анатолий, Журов Александр, Никонов Владимир, Туманов Эдуард, Бесунова Алёна, Матлис Софья, Корецкий Артем, Спиридонов Михаил, Саенко Игорь, Халиков Валерий, Николаев Андрей
  • 21 Января 2016, 21:38 #

    Уважаемый Владимир Николаевич, к сожалению лично мне не приходилось встречать специалистов, способных на подобные расчеты или даже представляющих себе в чем их суть.

    Современные «эксперты» способны максимум на вывод вроде: «если автомашина Ниссан Кашкай двигалась 2 секунды после начала торможения первичным было столкновение между Хюндай и Лада Калина, если 3 секунды, первичным было столкновение между Лада Калина и Ниссан Кашкай» (это уже с учетом показаний водителя Ниссана о том, что он тормозил после удара 2-3 секунды). 

    +7
  • 21 Января 2016, 22:48 #

    Уважаемый Владимир Николаевич, спасибо за труд, очень полезная публикация!(Y)

    +6
  • 22 Января 2016, 01:22 #

    Уважаемый Владимир Николаевич, в избранное однозначно, сам я, конечно, мало, что понял, но если разберусь (образование позволяет) и применю на практике, то вряд-ли  кто меня сможет опровергнуть.

    +7
    • 22 Января 2016, 07:56 #

      Уважаемый Дмитрий Борисович, не говорите «гоп» раньше времени. Госэксперт скажет, что для этого же надо физику изучать, а Минюстом это не предусмотрено.
      :)

      +9
  • 22 Января 2016, 02:37 #

    Уважаемый Владимир Николаевич!
    Спасибо, что ещё раз продемонстрировали, откуда у «забубённых» методичек ноги растут.
    Любая сложность начинается с простоты, о которой не догадываются «далеко» ушедшие от Эйлера.

    +7
    • 22 Января 2016, 07:58 #

      Вы — врач, уважаемый Анатолий Кириллович. И представляете себе, что подумают о вас судья, эксперты, прокурор, если вы начнете в суде произносить имена Ньютона, Эйлера, Лейбница, Лобачевского…

      +7
      • 22 Января 2016, 09:55 #

        Уважаемый Владимир Николаевич, полностью с Вами согласен

        Сколько раз доводилось слышать в суде в разных вариантах одно и тоже возражение, суть которого сводится к тому, что не надо нам тут от специалиста книжных знаний, наш гос. эксперт может  книжек всяких и не читает, но он зато все на практике познал!

        +5
        • 22 Января 2016, 11:05 #

          Уважаемый Эдуард Викторович, из общения с практиками, в том числе приватного, я знаю, какой мусор ( модель процесса) в и головах. Отгадайте, почему куча экспертов автотехников на сайте, а в обсуждении участвуют адвокаты?

          +4
          • 22 Января 2016, 13:00 #

            Уважаемый Владимир Николаевич, мусор не только в головах экспертов автотехников
            Сколько слежалого мусора скопилось в незамутненном сознании некоторых моих коллег — судебно-медицинских экспертов — диву даюсь!
             

            +3
      • 22 Января 2016, 12:14 #

        Уважаемый Владимир Николаевич!
        Механические процессы в медицине очень важны.
        Если бы медицина не отрывалась от основ физики и математики, врачи выглядели бы смышлёнее.

        +3
  • 22 Января 2016, 07:35 #

    Уважаемый Владимир Николаевич, понравилось изложение!

    Если в пику минюстовской экспертизе предварять экспертное исследование подобным введением:
    Общеизвестно из школьной программы, что такое производная функции. Производная – это тангенс угла наклона касательной к графику функции в некоторой точке. Это ее геометрический смысл...то часть вопросов у оппонентов отпадёт.

    Выводы специалиста будут читаться как глоток воды в знойной пустыне.

    +4
    • 22 Января 2016, 08:00 #

      Уважаемый Александр Валерианович, услышат да имеющие уши, прочитают да имеющие глаза. А люди с интеллектом 1-2 чхуна (по нашей спецшкале) просто вас не поймут.
      :(

      +5
    • 22 Января 2016, 10:00 #

      Уважаемый Александр Валерианович,
      Если в пику минюстовской экспертизе предварять экспертное исследование подобным введением: Общеизвестно из школьной программы, что … попробовал я как то так сказать
      На что прокурор заявил:
      — а я что то не припомню, чтобы это было в школьной программе!
      И Вашачесть его энергично поддержала
      :)

      +6
      • 22 Января 2016, 13:35 #

        Уважаемый Эдуард Викторович, тактическая ошибка.
        Надо было послать в школьную библиотеку.
        На худой конец,  держать в портфеле учебник.

        +1
        • 22 Января 2016, 13:56 #

          Уважаемый Александр Валерианович, я поступил проще
          Сказал в ответ, что если г-н Прокурор чего-то не помнит, то это всего лишь говорит об особенностях его памяти и прилежании в школьные годы, но вовсе не свидетельствует о том, что этого не существует
          Про Вашучесть при этом в суе упоминать не стал, от греха подальше…

          +1
  • 22 Января 2016, 10:10 #

    Уважаемый Владимир Николаевич, признаюсь честно, на этот раз чуть голову не сломала, пытаясь вникнуть. Окончательно убедилась в том, что я гуманитарий!(wasntme)

    Как говорится, невозможно знать все, но нужно знать как добыть источник желаемых знаний. Поэтому в случае чего Ваша публикация у меня в избранных!;)

    +5
    • 22 Января 2016, 10:41 #

      Уважаемая Алёна Александровна, главное — уловить смысл. Адвокату не обязательно понимать все формулы, но вынести мозг эксперту, тыкая в эти формулы, уметь надо.

      +4
  • 22 Января 2016, 14:33 #

    Уважаемый Владимир Николаевич, как всегда очень интересно и даже слегка понятно. Всегда с удовольствием читаю Ваши статьи, пару раз применяла изученное в беседе с экспертами, требовала разъяснений и ответов на вопросы. Внятных ответов не получила, но эксперты смотрели на меня подозрительно, примерно, как на говорящую собаку:) 

    +6
    • 22 Января 2016, 15:55 #

      Уважаемая Софья Ароновна, я так и думал. У нас так — сначала профессора делают шариковых, а потом шариковы идут работать в очистке и топырят пальцы на профессоров. Диалектика…

      +3
  • 22 Января 2016, 16:39 #

    Владимир Николаевич, спасибо за очередной полезный материал! Пока еще не изучил статью, но это обязательно! Хотел сказать, что заждались мы вашу очередную статью! :) 

    +3
  • 22 Января 2016, 17:47 #

    Владимир Николаевич, пока вы начали в очень правильном направлении, меня сейчас как раз интересует вопросы движения ТС, особенно на стадии разлета. Сейчас вот будет вторая СЭ с установлением скорости ТС с учетом повреждений. Первую считаю не очень удачной, там, если помните, два тазика было, материала в краш-тесте авторевю крайне мало, фото низкого качества. А тут хотя бы одна из машин иномарка и будет к осмотру, что позволит её измерить. Так что Crash3 начинаю потихоньку внедрять в работу. Остается в полной мере освоить вопросы движения ТС после столкновения. А вот до МКЭ каюсь пока не дошел, время не позволяет, но в будущем рассчитываю на цикл лекций от вас по этой теме :)

    +4
  • 22 Января 2016, 18:57 #

    Уважаемый Владимир Николаевич, очень полезная статья, а главное материал может быть использован в практической деятельности. Немного сложно, но если основательно вчитаться можно во всем разобраться. Возьму Вашу статью на заметку.

    +3
    • 22 Января 2016, 19:13 #

      Уважаемый Михаил Владимирович, это — самое простое. Да, разбираться надо, иначе зачем тогда адвокаты?

      +4
      • 22 Января 2016, 19:20 #

        Уважаемый Владимир Николаевич, все таки специальные познания в науке, ремесле и технике, это удел лиц обладающих специальными познаниями, но и адвокат должен знать основы таких познаний, чтобы проверить научную обоснованность заключения и при необходимости принять соответствующие меры. Вот для этого и будет полезна Ваша статья — проверять на её основе научную обоснованность сделанного вывода по аналогичным ситуациям.

        +4
  • 22 Января 2016, 21:56 #

    Уважаемый Владимир Николаевич, с интересом прочитал статью. В принципе всё понятно.
    Начало координат совпадает с положением центра тяжести автомобиля. Положение центра тяжести определяется по справочникам. Начальный радиус вектор тоже, но его можно посчитать зная параметры колёс и габариты авто.
    Вот именно этим, вероятно и можно «вынести» в суде мозг эксперту и поставить под сомнение его расчёт.
    Вот только траектория движения левого переднего колеса смущает, оно точно так двигается?.. 

    +3
    • 22 Января 2016, 22:19 #

      Уважаемый Игорь Владимирович, не сомневайтесь. Для заданных начальных параметров — так. Смысл статьи — показать как работают специальные компьютерные программы, применяемые в экспертизе ДТП. Поэтому результат моделирования в спецпрограмме был воспроизведен «вручную».

      +4
      • 22 Января 2016, 22:36 #

        Уважаемый Владимир Николаевич, заставила статья мозг работать 8-|

        специально распечатал, вырезал, проверил — точно до миллиметра!
        Кстати, сама собой определилась, самая наипростейшая,  методика проверки заключения эксперта. Как в детском саду  наложить аппликацию.
        При сложных траекториях движения методика такая-же? Или иная, ведь на практике мы видим только стартовое и конечное положение автомобиля. А в процессе вращательно-поступательного движения, в промежуточных точках. Там как считать?
        Ситуация бывает что ДТП около перехода и машина, получившая удар, вращаясь на один или даже два (зимой особенно) полных оборота сбивает пешехода. Виновник ДТП естественно не признаёт вину в причинении вреда человеку, машина-то не его. В этом случае очень критично определение положения пострадавшего автомобиля в пространстве в промежуточных точках, в результате его взаимодействия в ударившим автомобилем.

        +3
        • 23 Января 2016, 08:25 #

          Уважаемый Игорь Владимирович, конкретная задача решается по мере возникновения. Эта лекция — просветительская.

          Нельзя забывать, что задача судебной экспертизы — отделить технически невозможные ситуации от возможных. Чем больше вооружен научными знаниями эксперт, тем больше сужается интервал возможного развития событий.

          Поэтому для двух положений автомобиля можно определить параметры движения от и до. Но ещё есть деформации этого и второго авто, деформации от пешехода… Поэтому возможности для исследования большие.

          +3
  • 23 Января 2016, 12:17 #

    Одни формулы ВН. Ничего не разберет обычный обыватель и приходится верить математикам с такими формулами. Есть способ немного проще и для понимания обычным гражданам и судьям???

    +3
    • 23 Января 2016, 14:06 #

      Ничего не разберет обычный обыватель
      Уважаемый Валерий Кимович, это Вы, наверное, про госавтоэкспертов? Да, они размахивая в суде руками все что надо объясняют 
      :D

      +3
  • 24 Января 2016, 11:59 #

    Уважаемые адвокаты, подведем некий, пусть и промежуточный итог этой статьи. Здесь я напомнил, что такое производная и показал как просто можно интегрировать дифференциальное уравнение методом Эйлера. Затем, на примере простейшей задачи движения автомобиля с заносом, я показал, что «ручное решение» по простому алгоритму (а проще просто уже некуда) совпадает с решением маститой ( и дорогой — 6 тыс евро) программы PC-Crash.
    ↓ Читать полностью ↓

    Реакция экспертов (только двух), причем хороших экспертов, знаю обоих:
    Эксперт Корецкий
    Остается в полной мере освоить вопросы движения ТС после столкновения
    Эксперт Халиков 
    Одни формулы ВН. Ничего не разберет обычный обыватель
    Во как, даже нормальные эксперты только собираются это осваивать!

    Между тем, то, что я изложил, изучается в кусах теоретической механики и аналитической геометрии в технических вузах, смотри здесь, здесь и здесь. Сдали (на трояк) и начисто забыли?

    Но причем тут подсудимые по делам о ДТП? Они имеют право на то, чтобы эксперт использовал хотя бы базовые технические и математические знания при исследовании их дела?

    Эта статья оказалась ловушкой — она к месту и правильна, но показала уровень современной судебной экспертизы. Она, конечно, встает с колен, но встанет очень не скоро. :(

    https://youtu.be/EEwPXdbKG8U

    +5
    • 25 Января 2016, 12:10 #

      Уважаемый Владимир Николаевич, все абсолютно верно, подписываюсь под каждым словом! Уровень АТЭ у нас крайне низкий, частично тут спрос рождает предложение. Нашим судам качество не нужно, нужно только чтобы быстро делали.
      Сдали (на трояк) и начисто забыли?И тут вы правы! Не на трояк конечно, но сдали и забыли! :)
      И ладно мне, да и любому технарю — это по сути в памяти освежить да научиться правильно применять на практике. А вот за юристов-экспертов, коих большинство, там просто без шансов! Иногда такие кадры в суде попадаются, люди вообще не понимают о чем пишут. Смотришь документы, так и есть, базовое юрист, потом в лучшем случае 2ое эксперт-техник и далее сертификаты судекса и т.д.
      Всё-таки каждый должен заниматься своим делом, но законодательно у нас, к сожалению, никаких ограничений нет!
      Экспертиза конечно встает с колен, но Владимир Николаевич тут единственный домкрат, минюст в подъеме участия не принимает!

      +1
  • 24 Января 2016, 17:03 #

    Уважаемый Владимир Николаевич, однозначно, в «Избранное», заодно, данная публикация явилось детонатором к созданию блока вопросов для «специально обученных» экспертов от ГИБДД:) 

    +4

Да 28 28

Ваши голоса очень важны и позволяют выявлять действительно полезные материалы, интересные широкому кругу профессионалов. При этом бесполезные или откровенно рекламные тексты будут скрываться от посетителей и поисковых систем (Яндекс, Google и т.п.).

Для комментирования необходимо Авторизоваться или Зарегистрироваться

Ваши персональные заметки к публикации (видны только вам)

Рейтинг публикации: «Уравнения движения. Занос автомобиля» 5 звезд из 5 на основе 28 оценок.

Похожие публикации