Уравнения движения. Момент инерции автомобиля

Это – вторая лекция из цикла, посвященного экспертному анализу движения автомобилей в ДТП. Вспомните, как фигуристка, обладая некоторым количеством вращательного движения, прижимает руки к телу и ее вращение ускоряется, так как ее момент инерции стал меньше, а количество движения неизменно. Для расчета же вращения автомобиля в плоскости необходимо знать его момент инерции относительно вертикальной оси, проходящей через центр тяжести. В автомобильных справочниках, как правило, нет величины моментов инерции. Поэтому эксперты не мудрят — если им надо, они рассчитывают момент инерции упрощенно, как для плиты тех же габаритных размеров. Но правильно ли это? Знать ответ на этот вопрос полезно как адвокатам, так и экспертам.

Момент инерции – это физическая величина, являющаяся мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси. Момент инерции подобен массе тела, которая тоже является мерой его инертности, но в поступательном движении. Момент инерции характеризуется распределением масс в теле. Он равен сумме произведений элементарных масс, составляющих тело, на квадрат их расстояний до оси вращения.



Если массу автомобиля достаточно просто рассчитать, зная массы всех его деталей, или измерить на весах, то произвести расчет момента инерции автомобиля гораздо сложнее из-за сложной геометрической формы его деталей. Поэтому момент инерции автомобиля проще измерить на специальном стенде, работающего по принципу крутильного маятника, как, например, показано на рисунке выше.

Вычисление момента инерции автомобиля

Для простейших вычислений с использованием ньютоновской механики полагается, что масса транспортного средства сосредоточена в его центре тяжести. Это предположение правильно для центральных или для близких к нему ударов, когда линия силы удара проходит через центр тяжести автомобиля или близко к нему. Когда столкновение автомобилей имеют эксцентричный характер, с последующим вращением в результате удара, что является наиболее распространенным случаем ДТП, то простая модель центрального удара является неадекватной, и в таких случаях должно быть учтено распределение массы автомобиля относительно его центра тяжести.

Сопротивление объекта вращению прямо зависит от массы объекта и расположения этой массы по отношению к центру вращения, или от его момента инерции. Идеализированное транспортное средство может рассматриваться твердая однородная плита массойm (в килограммах) с длиной a  (в метрах) и шириной b (в метрах). Тогда момент инерции этой однородной плиты относительно вертикальной оси, проходящей через ее центр тяжести, находится по формуле (в кг*м²):
 
Реальное транспортное средство – это не однородная плита. Оно имеет такие концентрированные массы, как, например, двигатель, трансмиссия, элементы подвески. Поэтому фактический момент инерции автомобиля всегда меньше момента инерции однородной плиты тех же геометрических размеров и массы.

Из специальной литературы известно несколько попыток предложить универсальный способ расчета момента инерции автомобиля в виде соотношения, связывающего массу автомобиля, его геометрические размеры и расположение центра тяжести. Однако все подобные исследования были произведены до 1997 года, и, в связи с изменяющимися стандартами и тенденциями развития автомобилестроения, результаты таких исследований быстро устаревают.

С целью получения актуальной информации из базы данных DSD, входящей в специальную компьютерную программу PC-Crash, была произведена выборка 73 наиболее распространенных в России моделей автомобилей 2009-2014 годов. Выборка производилась произвольно, для каждого производителя в выборку не включались автомобили сходных по габаритам и массе моделей. В таблицах ниже для каждой модели из выборки указаны наименование, масса снаряженного автомобиля, габаритная длина, габаритная ширина, расчетное значение момента инерции по приведенной выше формуле для однородной плиты, фактическое значение момента инерции, превышение расчетного значения момента инерции над фактическим в процентах.

Автомобили особо малого класса «A»


Автомобили малого класса «B»


Автомобили малого среднего класса «С»


Автомобили среднего класса «D»


Автомобили бизнес-класса «E»


Автомобили представительского класса «F»


Как видно из представленной выборки, расчетное значение момента инерции превышает его фактическое от 16% до 34%. Следовательно, можно ожидать, что аппроксимация линейной зависимостью значения фактического момента инерции как функции расчетного значения момента инерции даст приемлемые для использования результаты.

На графике на рисунке ниже ось абсцисс – расчетный момент инерции, ось ординат –фактический момент инерции, точками показаны фактические данные из таблиц выше. Методом наименьших квадратов была получена линейная зависимость фактического значения момента инерции от расчетного значения в виде

которая показана на рисунке ниже в виде сплошной прямой. Пунктиром показаны линии превышения момента инерции на плюс-минус 10%.

Видно, что на графике выше все фактические точки лежат в приемлемой области возможной погрешности значения момента инерции плюс-минус 10%.

Таким образом, с погрешностью не более 10% момент инерции автомобиля относительно вертикальной оси, проходящей через его центр тяжести, может быть определен по графику выше или рассчитан по формуле

где m – масса снаряженного автомобиля, a – длина автомобиля, b – ширина автомобиля.

Для учета загрузки автомобиля водителем, пассажирами и грузом, согласно теореме Гюйгенса, для каждого из них можно прибавить к полученной величине момента инерции снаряженного автомобиля значение произведения массы каждого объекта на квадрат расстояния от центра тяжести этого объекта до центра тяжести автомобиля.

Резюме

Таким образом, данная лекция полезна не только для экспертов по ДТП, но и для адвокатов, осуществляющих защиту по ст.264 УК РФ. Адвокатам — тем, что можно легко проверить исходные данные эксперта, чтобы он не "накормил севрюжиной с хреном" как адвоката, так и его клиента, тихо увеличив в десяток-другой раз момент инерции одного из автомобилей, участвовавших в ДТП.

Литература:

1. MacInnis, D., Cliff, W., and Ising, K., A Comparison of Moment of Inertia Estimation Techniques for Vehicle Dynamics Simulation. // SAE Technical Paper 970951, 1997, doi:10.4271/970951.


Предыдущая лекция "Уравнения движения. Движение заторможенного автомобиля".

Все статьи автора на Праворубе.